日記/2010-03-25/移動平均法

移動平均法 †

先日，Twitterでノイズ除去の話が出たので，移動平均法について簡単にまとめてみる．

欲しい信号の変化が比較的ゆっくりで，除去したい信号(雑音）の変化が激しい場合，過去のサンプリング列の N 個の平均を取り，雑音を除去するのが移動平均法と呼ばれる方法である．式で書くと

y(n) = ( x(n) + x(n-1) + x(n-2) + ... x(n-N+1) ) / N

となる．

移動平均法の場合は要するに

何サンプル分の平均値を取ればいいのか

つまり，上の式の N を決定することに他ならない．

実は移動平均法もレッキとしたディジタルフィルタの一種である．

移動平均法の周波数特性（ある周波数の信号を入力した場合にどれだけが出力に伝わるか）は，フーリエ変換の理論から数式の形で導くことができ，

y(f) = sinc(f) = sin(f)/f, ただし sinc(0) = 1

の形になることが知られている．

グラフに書くとこんな感じになる（x軸は正規化してある）．

ここで注目するのが，振幅特性が最初に x 軸に交わるところ，つまり上のグラフでは x = 1 の点である．この点より低い周波数に所望信号が，高い点に雑音が分布していれば，うまく信号のみを取り出せそうだ．

実はこの点は移動平均の周期と同じ周期の信号の周波数になる．図にするとこんな感じ．

サイン波のちょうど１周期分が移動平均の枠に収まり，上下が足し合わさってキャンセルされている．

というわけで，この周波数に注目して移動平均長 N を設定すればいいだろう．

入力サンプル列を目視で監視していたとして，突発的に値が上昇した場合，それが雑音によるものなのか信号によるものなのかは「しばらく様子を見」ないとわからない．しばらく様子を見ることにより，遅延が発生することになる

移動平均法でも同様に遅延が発生する．遅延の発生量は移動平均長の半分であることが知られている．

とした場合，上のグラフの x = 1 に相当する周波数は 8000/800 = 10 Hz となる．

また，移動平均に伴う信号の遅延は 1/10 / 2 = 0.05 秒となる．