日記/2010-04-05/octave で画像処理 - 2 次元 FFT の意味

octave で画像処理 - 2 次元 FFT の意味 †

前回は，いきなし 2 次元 FFT なんぞかましてしまったので，今回は 2 次元 FFT の意味と題して「空間周波数領域が何を表しているか」というあたりを見てみます．

空間周波数領域のある１点のみに値を設定し，他を０とすることで，値を設定した点が何を意味するかを見ます．

とりあえず行列を作ります．

octave:1> y = zeros(256);          # 256x256 の零行列を作成
octave:2> y ( 3+1,4+1 ) = 1000;    # 値を設定

行列の場合，y ( row, column ) という表記なので，引数の縦方向を先に指定したり，添字が１から始まったりと，普通のプログラミングと勝手が違うので注意しましょう．

この行列の値を画像として表示します．

octave:3> imshow ( y );

逆 FFT にかけます．

octave:5> x = ifft2 ( y );

画像として表示してみます．

octave:8> imshow ( real(x)*50 );

実は，エイリアジング領域の値の設定をサボっているので，空間領域でも複素数の値になってしまってます． real() で実数部だけ抜き出しているのはそのためです．

グラデーションのかかったシマシマ模様が現れました． 波の立っている水面のようになっているわけです．

波の数を数えてみましょう． 横方向には４，縦方向には３，ですね． この値…空間周波数領域で最初に値を設定した点の座標ですね．

空間周波数領域の他の象限については下図のようになります．

2 次元 FFT で得られた空間周波数領域での各点の値は，元の画像をこのような波の足し算と捉え，各要素に分解して表していることになります．