日記/2008-08-14/サンプリングレート変換 その2
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開始行:
* サンプリングレート変換 その2 [#ddefd37b]
まずは,「サンプリング」するということについて考えてみま...
** フーリエ変換 [#bd6241da]
ここらへんの議論の元になっている理論です.
要するに,
-「時間と振幅」で表される波形を「周波数と振幅」という表現...
-「周波数と振幅」という表現から「時間と振幅」という表現に...
というところをベースにした話です.
理工系の学生なら,名前とその効能ぐらいは知っているはず.
特に電気・電子系の場合はこれ無しでは話が始まりません.
「細かい議論はともかく,感覚的に理解したい」と言う向きに...
** サンプリング [#g4701d1a]
というわけで,サンプリングについて.
理屈は抜きにして図で見てみましょう.
#ref(cont.png,right,around,320x240)
例えばこういう波形をサンプリングすると
#clear
#ref(sample.png,right,around,320x240)
こうなります.
#clear
元の波形が連続した時間で連続した値を持っているのに対し,...
で,サンプリング後の波形だが,ヒゲの先頭をなだらかな線で...
が,それにはある条件が必要です.
その「ある条件」を満たさない例を見てみましょう.
** エイリアジング [#oc2547e8]
図で説明します.
#ref(7500.png,right,around,320x240)
7500 Hz の正弦波を 8000 Hz でサンプリングしてみると…
#clear
#ref(500.png,right,around,320x240)
まるで 500 Hz の正弦波のようになってしまいます.
#clear
サンプリングした後は,赤線の波形になってしまうので,元の...
この現象は「エイリアジング」または「折り返し歪み」と呼ば...
** 周波数軸で見ると [#xd1d99b6]
まず,元の波形をフーリエ変換してスペクトルを見ると,下図...
#ref(spectrum_cont.png,center)
この場合,元波形をサンプリングした波形のスペクトルは下図...
図中で fs とあるのはサンプリング周波数です.
#ref(spectrum_sample.png,center)
元波形のスペクトルと同じスペクトルが fs, 2fs, 3fs …の上下...
下図のように高い周波数が含まれている波形の場合は
#ref(spectrum_cont_alias.png,center)
サンプリングすると,fs の下側に生じるスペクトルが元のスペ...
#ref(spectrum_sample_alias.png,center)
で,fs の下側に生じるスペクトルは元波形のスペクトルと対称...
「折り返し歪み」と呼ばれるのはこのためです.
先ほどのエイリアジングも,このために生じている現象です.
** エイリアジングを防ぐためには [#cb1b5315]
1/2 fs 以上の周波数成分がエイリアジングの原因であることが...
ならば,エイリアジングを防ぐ方法もわかりますね.
> 元波形の 1/2 fs 以上の周波数成分を除去してからサンプリ...
のです.
元波形のほうを中心に考えると
> 元波形に含まれる最高の周波数の 2 倍以上の周波数でサンプ...
とも言えます.
いずれにしても 1/2 fs という,「サンプリング周波数の半分...
というわけで,これには「ナイキスト周波数」という名前が付...
終了行:
* サンプリングレート変換 その2 [#ddefd37b]
まずは,「サンプリング」するということについて考えてみま...
** フーリエ変換 [#bd6241da]
ここらへんの議論の元になっている理論です.
要するに,
-「時間と振幅」で表される波形を「周波数と振幅」という表現...
-「周波数と振幅」という表現から「時間と振幅」という表現に...
というところをベースにした話です.
理工系の学生なら,名前とその効能ぐらいは知っているはず.
特に電気・電子系の場合はこれ無しでは話が始まりません.
「細かい議論はともかく,感覚的に理解したい」と言う向きに...
** サンプリング [#g4701d1a]
というわけで,サンプリングについて.
理屈は抜きにして図で見てみましょう.
#ref(cont.png,right,around,320x240)
例えばこういう波形をサンプリングすると
#clear
#ref(sample.png,right,around,320x240)
こうなります.
#clear
元の波形が連続した時間で連続した値を持っているのに対し,...
で,サンプリング後の波形だが,ヒゲの先頭をなだらかな線で...
が,それにはある条件が必要です.
その「ある条件」を満たさない例を見てみましょう.
** エイリアジング [#oc2547e8]
図で説明します.
#ref(7500.png,right,around,320x240)
7500 Hz の正弦波を 8000 Hz でサンプリングしてみると…
#clear
#ref(500.png,right,around,320x240)
まるで 500 Hz の正弦波のようになってしまいます.
#clear
サンプリングした後は,赤線の波形になってしまうので,元の...
この現象は「エイリアジング」または「折り返し歪み」と呼ば...
** 周波数軸で見ると [#xd1d99b6]
まず,元の波形をフーリエ変換してスペクトルを見ると,下図...
#ref(spectrum_cont.png,center)
この場合,元波形をサンプリングした波形のスペクトルは下図...
図中で fs とあるのはサンプリング周波数です.
#ref(spectrum_sample.png,center)
元波形のスペクトルと同じスペクトルが fs, 2fs, 3fs …の上下...
下図のように高い周波数が含まれている波形の場合は
#ref(spectrum_cont_alias.png,center)
サンプリングすると,fs の下側に生じるスペクトルが元のスペ...
#ref(spectrum_sample_alias.png,center)
で,fs の下側に生じるスペクトルは元波形のスペクトルと対称...
「折り返し歪み」と呼ばれるのはこのためです.
先ほどのエイリアジングも,このために生じている現象です.
** エイリアジングを防ぐためには [#cb1b5315]
1/2 fs 以上の周波数成分がエイリアジングの原因であることが...
ならば,エイリアジングを防ぐ方法もわかりますね.
> 元波形の 1/2 fs 以上の周波数成分を除去してからサンプリ...
のです.
元波形のほうを中心に考えると
> 元波形に含まれる最高の周波数の 2 倍以上の周波数でサンプ...
とも言えます.
いずれにしても 1/2 fs という,「サンプリング周波数の半分...
というわけで,これには「ナイキスト周波数」という名前が付...
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