octave で画像処理 - 名前に偽りあり †というわけで,前回の話の続き. フーリエ級数展開とフーリエ変換 †まずは,復習から. フーリエ級数展開とは
ものでしたね. で,フーリエ変換は,フーリエ級数の繰り返し周期→∞ の極限とも言えるもので
ものになります. 高速フーリエ「変換」とは †で,今回使っているのは 2 次元の高速フーリエ変換です. 高速フーリエ変換というからには,フーリエ変換の仲間なのでしょうか? 答えは「No」. 高速フーリエ変換はフーリエ変換の仲間ではなく,フーリエ級数展開の仲間です. もっとも,フーリエ級数展開とフーリエ変換は仲間なので,そういう意味では仲間かもしれません. が,「高速フーリエ変換はフーリエ級数展開とフーリエ変換のどちらに近いものか」と聞かれたら,「フーリエ級数展開」と答えざるを得ません. FFT では(時間領域では)有限のサンプル数を扱います. このサンプル列を(強引に)1 周期としてフーリエ級数展開をした結果が周波数スペクトルになる,と解釈されます. なぜそうなってしまうのか,というと
という理屈はあるのですが,ま,てきとーに聞き流してください. 2 次元 FFT では †2 次元 FFT でも同様の話が成り立ちます. つまり,2 次元 FFT では「元画像が無限につながった画像」の 1 周期分を切り出して「空間周波数スペクトルの繰り返し」の 1 周期分を得ていたわけです. ここで注目するのは「繰り返し」のつなぎ目の部分. すっぱり切られた画像を強引に繰り返しとみなしているので,つなぎ目の部分で急峻な変化となってます. これが「ギブズの現象」の生じる原因だと考えられます. |